خانه
گاما

درسنامه آموزشی ریاضی 3 فنی دوازدهم هنرستان

پودمان 5: محاسبات مشتق و کاربردها

بازدید235
تاریخ بروزرسانی1405/04/10

محاسبهٔ مشتق تابع‌ها

حمید در ایام تعطیلات با قطار به مسافرت رفته بود. در طول راه، وقتی از پنجرۀ قطار به بیرون نگاه می‌کرد، با خود فکر کرد: اگر قطار با سرعت ثابتی در حال حرکت باشد و من نیز در راهروی قطار با سرعت ثابتی حرکت کنم، سرعت من نسبت به زمین چقدر خواهد بود؟ بعد از تعطیلات، حمید سؤال خود را در کلاس درس ریاضی مطرح کرد.

- دبیر گفت: می‌دانید که سرعت یک متحرک در هر لحظه با محاسبهٔ مشتق تابع حرکت در آن لحظه به‌دست می‌آید. بنابراین برای یافتن سرعت حرکت یک متحرک نسبت به زمین باید تابع حرکت آن متحرک را نسبت به زمین به‌دست آوریم.

- سعید گفت: تابع حرکت حمید نسبت به زمین را چگونه می‌توان به‌دست آورد؟

- دبیر گفت: بهتر است در یک مثال ساده‌تر این مسئله را بررسی کنیم. در برخی فرودگاه‌ها و اماکن عمومی، پیاده‌روهای متحرکی ساخته‌اند که افراد روی تسمهٔ آن‌ها می‌ایستند و جابه‌جا می‌شوند. در فعالیت زیر با بررسی سرعت فردی که روی چنین تسمه‌ای در حال حرکت است، مسئلهٔ حمید را می‌توانید حل کنید.

فعالیت (صفحهٔ 115 کتاب درسی)

 

فرض کنید تسمۀ یک پیاده‌روی متحرک، با سرعت ثابت 3 متر بر ثانیه در حال حرکت باشد و فردی در لحظهٔ $t = 0$ در نقطهٔ ثابت ${A_1}$ روی تسمهٔ قرار گرفته و با سرعت ثابت 50 سانتی‌متر بر ثانیه در حال راه رفتن باشد. نقطهٔ ${A_0}$ محل نصب پایهٔ پیاده‌روی متحرک روی زمین است. در لحظهٔ $t = 0$ نقطهٔ ${A_1}$ (روی تسمه) و نقطهٔ ${A_0}$ (روی زمین) در یک مکان قرار دارند.

تابع حرکت تسمه نسبت به زمین (فاصلهٔ ${A_1}$ تا ${A_0}$) به‌صورت $f(t) = 3t$ و تابع حرکت فرد نسبت به پیاده‌روی متحرک (فاصلهٔ فرد تا ${A_1}$) به‌صورت $g(t) = \frac{1}{2}t$ است (زمان $t$ برحسب ثانیه و فاصله‌ها برحسب متر هستند). فرض کنید دامنهٔ این دو تابع، بازهٔ زمانی $\left[ {0,10} \right]$ باشد. پس از گذشت $t$ ثانیه، وضعیت فرد و تسمه به شکل زیر خواهد بود:

1- مقادیر $f(0)$ و $g(0)$ چه چیزی را نشان می‌دهند؟

$f(0)$ فاصلهٔ نقطهٔ ${A_1}$ (روی تسمه) را از نقطهٔ ${A_0}$ (محل نصب پایهٔ پیاده‌رو روی زمین) در زمان $t = 0$ نشان می‌دهد و $g(0)$ فاصلهٔ فرد را از نقطهٔ ${A_1}$ در زمان $t = 0$ نشان می‌دهد.

2- مقادیر $f(1)$ و $g(1)$ و $f(1) + g(1)$ چه چیزی را نشان می‌دهند؟

$f(1)$ فاصلهٔ نقطهٔ ${A_1}$ از نقطهٔ ${A_0}$ در زمان $t = 1$ و $g(1)$ فاصلهٔ فرد را از نقطهٔ ${A_1}$ در زمان $t = 1$ را نشان می‌دهد. همچنین $f(1) + g(1)$ فاصلهٔ فرد را از نقطهٔ ${A_0}$ در زمان $t = 1$ نشان می‌دهد.

3- قانون تابع $h(t) = f(t) + g(t)$ را در بازهٔ $\left[ {0,10} \right]$ به‌دست آورید. این تابع چه چیزی را نشان می‌دهد؟

قانون تابع $h$ به‌صورت $h(t) = 3t + \frac{1}{2}t$ می‌باشد. این تابع فاصلهٔ فرد از نقطهٔ ${A_0}$ (روی زمین) در زمان $t$ را نشان می‌دهد.

4- مقدارهای $f'(t)$ و $g'(t)$ و $h'(t)$ نشان‌دهندهٔ چه چیزی هستند؟

$ = f'(t)$ سرعت حرکت نقطهٔ ${A_1}$ نسبت به نقطهٔ ${A_0}$ (روی زمین) در زمان $t$، $ = g'(t)$ سرعت حرکت فرد نسبت به نقطهٔ ${A_1}$ (روی تسمه) در زمان $t$، $ = h'(t)$ سرعت حرکت فرد نسبت به نقطهٔ ${A_0}$ (روی زمین) در زمان $t$ می‌باشد.

5- $f'(t)$ و $g'(t)$ و $h'(t)$ را به‌دست آورید. چه رابطه‌ای بین آن‌ها وجود دارد؟

$f'(t) = 3$ و $g'(t) = \frac{1}{2}$ و $h'(t) = 3 + \frac{1}{2}$ داریم: $h'(t) = f'(t) + g'(t)$

وقتی که فرد روی پیاده‌روی متحرک شروع به راه رفتن می‌کند، مسافتی که فرد نسبت به زمین طی می‌کند (فاصلهٔ فرد تا ${A_0}$) برابر است با مجموع مسافت طی شده توسط تسمه (فاصله ${A_1}$ تا ${A_0}$) با مسافت طی شده توسط فرد روی تسمه (فاصلهٔ فرد تا ${A_1}$). بنابراین تابع حرکت این فرد نسبت به زمین به‌صورت مجموع دو تابع $f(t)$ و $g(t)$ خواهد بود. یعنی در زمان $t$، فاصلهٔ فرد از ${A_0}$ به‌صورت $h(t) = f(t) + g(t)$ می‌باشد. سرعت حرکت این فرد نسبت به تسمه با مشتق‌گیری از تابع حرکت $g(t)$ به‌دست می‌آید، یعنی $g'(t) = \frac{1}{2}$. همچنین سرعت حرکت تسمه نسبت به زمین به‌صورت $f'(t) = 3$ است. سرعت حرکت فرد نسبت به زمین به‌صورت $h'(t) = 3 + \frac{1}{2}$ است. با مقایسهٔ سرعت‌ها (مشتق سه تابع) می‌توان دید سرعت فرد نسبت به زمین برابر است با مجموع سرعت فرد نسبت به تسمه و سرعت تسمه نسبت به زمین؛ یعنی مشتق مجموع این دو تابع با مجموع مشتق‌های آن‌ها برابر است.

- سعید گفت: تابع‌های ارائه شده در فعالیت بالا همگی خطی بودند و مشتق هر کدام از آن‌ها که سرعت را نشان می‌داد، مقدار ثابتی بود. آیا نتیجه‌ای که در این فعالیت گرفتیم، برای همهٔ تابع‌ها برقرار است؟

- دبیر گفت: با توجه به اینکه برای محاسبهٔ مشتق باید از حدگیری استفاده شود و حد مجموع دو تابع با مجموع حدهای آن‌ها برابر است، این ویژگی برای همهٔ تابع‌ها برقرار است.

برای هر دو تابع مشتق‌پذیر، ویژگی زیر برقرار است:

قانون مشتق جمع دو تابع، برای مجموع بیشتر از دو تابع نیز برقرار است. از این قانون می‌توان برای پیدا کردن مشتق تابع‌های مختلف استفاده کرد.

امکان تعمیم قانون مشتق مجموع دو تابع، به مشتق حاصل‌ضرب دو تابع اولین سؤالی بود که توسط یکی دیگر از هنرجویان مطرح شد.

- مسعود گفت: آیا برای به‌دست آوردن مشتق حاصل‌ضرب دو تابع، می‌توانیم مشتق آن‌ها را در هم ضرب کنیم؟

- سعید گفت: این سؤال برای من هم پیش آمده بود. برای بررسی درستی این حدس، یک مثال برای خودم زدم و درستی آن را بررسی کردم. تابع $f(x) = {x^2}$ را به‌صورت $f(x) = xx$ نوشتم و این حدس را آزمایش کردم.

$f'(x) = 1 \times 1 = 1$

اما دیده بودیم $f'(x) = 2x$، پس تساوی بالا نادرست است و این حدس اشتباه بود.

- دبیر گفت: بله. این مثال، حدس مسعود را رد می‌کند، یعنی یک مثال نقض برای آن است.

برای یافتن مشتق حاصل‌ضرب دو تابع می‌توان از تعریف مشتق استفاده کرد. در حالت کلی مشتق حاصل‌ضرب دو تابع به شکل زیر است.

کار در کلاس (صفحهٔ 119 کتاب درسی)

 

با استفاده از تساوی $x.\frac{1}{x} = 1$ که در $\mathbb{R} - \left\{ 0 \right\}$ برقرار است و به کمک مشتق حاصل‌ضرب دو تابع، مشتق تابع $\frac{1}{x}$ را در نقطهٔ دلخواه $x \ne 0$ به‌دست آورید.

قرار می‌دهیم: $f(x) = x$ و $g(x) = \frac{1}{x}$ داریم: $f(x).g(x) = 1$ با مشتق‌گیری از دو طرف تساوی داریم:

$f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 0 \Rightarrow 1 \times \frac{1}{x} + x \times g'(x) = 0 \Rightarrow g'(x) =  - \frac{1}{{{x^2}}}$

به کمک مشتق حاصل‌ضرب دو تابع، مشتق بسیاری از تابع‌ها را می‌توان یافت. در فعالیت زیر مشتق تابع $f(x) = a{x^n}$ را که $a$ یک عدد حقیقی و $n$ یک عدد طبیعی دلخواه است، به‌دست می‌آوریم.

فعالیت (صفحهٔ 119 کتاب درسی)

 

1- جدول زیر را کامل کنید.

$({x^4})' = ({x^3}.\,x)' = ({x^3})'.\,x + {x^3}.(x)' = 3{x^2}.x + {x^3}.1 = 4{x^3}$
$({x^5})' = ({x^4}.\,x)' = ({x^4})'.\,x + {x^4}.(x)' = 4{x^3}.x + {x^4}.1 = 5{x^4}$

${x^5}$ ${x^4}$ ${x^3}$ ${x^2}$ $x$ $f(x)$
$5{x^4}$ $4{x^3}$ $3{x^2}$ $2x$ 1 $f'(x)$

2- چه رابطه‌ای بین قانون $f(x)$ و ضریب و توان در $f'(x)$ وجود دارد؟
توان $x$ در $f'(x)$ از توان $x$ در $f(x)$ یک واحد کمتر است و ضریب $f'(x)$ همان توان $x$ در $f(x)$ است.

3- اگر $n \in {\Bbb N}$ و $f(x) = {x^n}$، قاعده‌ای برای یافتن $f'(x)$ پیشنهاد دهید.
برای به‌دست آوردن $f'(x)$ کافی است یک واحد از توان $x$ در $f$ کم کنیم و آن را در توان $x$ یعنی $n$ ضرب کنیم. $(f'(x) = n{x^{n - 1}})$

4- اگر $n \in {\Bbb N}$ و $a$ یک عدد حقیقی و $f(x) = a{x^n}$، قاعده‌ای برای یافتن $f'(x)$ پیشنهاد دهید.
چون $a \in R$ عددی ثابت است می‌توان نوشت:

$f(x) = a{x^n} \Rightarrow f'(x) = a({x^n})' = an{x^{n - 1}}$

در فعالیت بالا، با کامل کردن جدول می‌توان دید وقتی $n$ برابر با 1، 2، 3، 4 یا 5 است، مشتق تابع $f(x) = {x^n}$ به‌صورت $f'(x) = n{x^{n - 1}}$ می‌باشد. این تساوی برای هر عدد طبیعی $n$ نیز برقرار است. برای تابع $f(x) = a{x^n}$ نیز داریم: $f'(x) = na{x^{n - 1}}$.

به کمک مشتق جمع تابع‌ها و مشتق تابع ${x^n}$ می‌توان مشتق تابع چندجمله‌ای

$f(x) = {x^n} + {x^{n - 1}} + ... + x + 1$

را به‌دست آورد. در واقع $f'(x) = n{x^{n - 1}} + (n - 1){x^{n - 2}} + ... + 1$

همچنین مشتق تابع چندجمله‌ای

$f(x) = {a_n}{x^n} + {a_{n - 1}}{x^{n - 1}} + ... + {a_1}x + {a_0}$

به‌صورت زیر است:

$f'(x) = n{a_n}{x^{n - 1}} + (n - 1){a_{n - 1}}{x^{n - 2}} + ... + {a_1}$

پس از آشنایی با روش محاسبهٔ مشتق مجموع و حاصل‌ضرب دو تابع، این سؤال پیش آمد که مشتق تقسیم دو تابع چگونه به‌دست می‌آید؟

- حمید گفت: بسیاری از تابع‌ها به‌صورت تقسیم دو تابع هستند. مشتق این‌گونه تابع‌ها را چگونه محاسبه می‌کنیم؟

- دبیر گفت: فرض کنید $f$ و $g$ دو تابع مشتق‌پذیر با دامنهٔ یکسان $D$ باشند و $g(x) \ne 0$. می‌توانید تابع $h(x) = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ را با همان دامنهٔ $D$ در نظر بگیرید. اگر فرض کنیم تابع $h$ مشتق‌پذیر باشد، با استفاده از تساوی $f(x) = h(x).g(x)$ و مشتق حاصل‌ضرب دو تابع، می‌توان مشتق تابع $h$ را به‌دست آورد.

- حمید گفت: من این مسئله را به شکل زیر حل کردم. برای سادگی محاسبه به‌جای $f(x)$ از $f$ و به‌جای $f'(x)$ از ${f'}$ استفاده کردم.

$f = h.g$

$f' = h'.g + h.g'$

به‌جای $h$ معادل آن یعنی $\frac{f}{g}$ را قرار دادم:

$f' = h'.g + \frac{f}{g}.g'$

$h'.g = f' - \frac{{f.g'}}{g}$

$h'.g = \frac{{f'.g - f.g'}}{g}$

$h' = \frac{{f'.g - f.g'}}{{{g^2}}}$

- دبیر گفت: محاسبّ شما درست است.

$h'(a) = \frac{{f'(a).g(a) - f(a).g'(a)}}{{{{(g(a))}^2}}}$

کار در کلاس (صفحهٔ 121 کتاب درسی)

 

مشتق تابع‌های زیر را به‌دست آورید. دامنه‌های این تابع‌ها را بازهٔ $(0, + \infty )$ در نظر بگیرید.

$ = f'(x) = 2x - 4$$f(x) = {x^2} - 4x + 5$ (الف

$ = g'(x) = 2x + \frac{4}{{2\sqrt x }}$$g(x) = {x^2} + 4\sqrt x $ (ب

$ = h'(x) = \frac{{(2x - 4)(3x + 4) - 3({x^2} - 4x)}}{{{{(3x + 4)}^2}}}$$h(x) = \frac{{{x^2} - 4x}}{{3x + 4}}$ (ج

مسائل (صفحهٔ 122 و 123 کتاب درسی)

 

1- مشتق تابع‌های زیر با دامنهٔ $\mathbb{R}$ را به‌دست آورید.

$ = f'(x) = 3{x^2} + 4$$f(x) = {x^3} + 4x + 1$ (الف

$ = g'(x) = 2x({x^2} - 3) + 2x({x^2} + 1) = 4{x^3} - 4x$$g(x) = ({x^2} + 1)({x^2} - 3)$ (ب

$h(x) = \frac{{3x + 1}}{{{x^2} + 1}}$ (ج
$\eqalign{
  &  = h'(x) = \frac{{3({x^2} + 1) - 2x(3x + 1)}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} = \frac{{3{x^2} + 3 - 6{x^2} - 2x}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}  \cr 
  &  = \frac{{ - 3{x^2} - 2x + 3}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} \cr} $

2- قطاری در یک مسیر مستقیم و با سرعت ثابت از ایستگاه دور می‌شود فاصلۀ این قطار برحسب متر در لحظۀ $t$ (برحسب ثانیه) از ایستگاه $f(t) = 20t + 5$ است. ماشینی در جاده‌ای به موازات مسیر حرکت قطار، هم‌جهت با حرکت قطار از ایستگاه دور می‌شود. فاصلهٔ این ماشین (برحسب متر) در لحظۀ $t$ (برحسب ثانیه) $g(t) = {t^2} + 20t + 5$ است. فرض کنید این وضعیت در بازۀ زمانی $\left[ {0,10} \right]$ برقرار باشد.

الف) فاصلۀ قطار را از ایستگاه و سرعت آن را در زمان‌های 10 و 5 و $t = 0$ به‌دست آورید.

$\left\{ \begin{gathered} 
  t = 0\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,f(0) = 5 \hfill \cr 
  t = 5\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,f(5) = 105 \hfill \cr 
  t = 10\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,f(10) = 205 \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$ وضعیت قطار نسبت به ایستگاه از لحاظ فاصلهٔ 

$\left\{ \begin{gathered} 
  t = 0\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,f'(0) = 20 \hfill \cr 
  t = 5\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,f'(5) = 20 \hfill \cr 
  t = 10\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,f'(10) = 20 \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$ وضعیت قطار نسبت به ایستگاه از لحاظ سرعت

ب) فاصلۀ ماشین را از ایستگاه و سرعت آن را در زمان‌های 10 و 5 و $t = 0$ به‌دست آورید.

$\left\{ \begin{gathered} 
  t = 0\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,g(0) = 5 \hfill \cr 
  t = 5\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,g(5) = 130 \hfill \cr 
  t = 10\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,g(10) = 305 \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$ وضعیت ماشین نسبت به ایستگاه از لحاظ فاصله

$\left\{ \begin{gathered} 
  t = 0\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,g'(0) = 20 \hfill \cr 
  t = 5\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,g'(5) = 30 \hfill \cr 
  t = 10\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,g'(10) = 40 \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$ وضعیت ماشین نسبت به ایستگاه از لحاظ سرعت

ج) شکل زیر مکان قطار و ماشین و سرعت آن‌ها را در لحظه‌های $t = 0$ و $t = 5$ و $t = 10$ نشان می‌دهد.

- فاصلۀ ماشین از قطار در لحظه‌های $t = 0$ و $t = 5$ و $t = 10$ به‌دست آورید.
- در لحظه‌های $t = 0$ و $t = 5$ و $t = 10$ سرعت قطار ............. است ولی سرعت ماشین ............. است.

طبق محاسبات انجام شده فاصله ماشین از قطار در لحظات 0 و 5 و 10 به‌ترتیب برابر 0 و 25 و 100 (برحسب متر) است. در همه این لحظات سرعت قطار مقدار ثابت 20 متر بر ثانیه است ولی سرعت ماشین درحال افزایش است و به‌ترتیب برابر 20 و 30 و 40 متر بر ثانیه است.

د) یکی از مسافران قطار به ماشین نگاه می‌کند. به کمک تابع $h(t) = g(t) - f(t)$ سرعت دور شدن ماشین از قطار را از نظر مسافر در لحظۀ $t$ به‌دست آورید.

فاصلهٔ قطار از ماشین با تابع

$h(t) = g(t) - f(t) = {t^2} + 20t + 5 - 20t - 5 = {t^2}$

داده می‌شود. سرعت دور شدن ماشین از قطار در هر لحظهٔ $t$ (از دامنهٔ تابع) برابر $h'(t) = 2(t)$ است.

3- اگر $f$ تابعی مشتق‌پذیر باشد، مشتق تابع $u(x) = {(f(x))^2}$ را برحسب $f$ و ${f'}$ به‌دست آورید. به کمک این رابطه مشتق تابع $v(x) = {(4{x^2} - 1)^2}$ را به‌دست آورید.

$\eqalign{
  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,v'(x) = 2f(x)f'(x)  \cr 
  & v(x) = (4{x^2} - 1) \Rightarrow v'(x) = 2(4{x^2} - 1).(8x) = 64{x^3} - 16x \cr} $

4- فلزها بر اثر گرما انبساط می‌یابند. فرض کنید یک قاب مستطیلی فلزی داریم که طول و عرض آن در دمای T به‌صورت $f(T) = 15(1 + \frac{1}{8}T)$ و $g(T) = 10(1 + \frac{1}{8}T)$ است. مقادیر T (دما) در بازهٔ $\left[ {0,40} \right]$ است. T برحسب سانتی‌گراد و مقدار این تابع‌ها برحسب سانتی‌متر است.

الف) سرعت تغییر اندازهٔ اضلاع را نسبت به تغییر درجهٔ حرارت به‌دست آورید.

$\eqalign{
  & g'(T) = 10 \times \frac{1}{8} = \frac{5}{4}  \cr 
  & f'(T) = 15 \times \frac{1}{8} = \frac{{15}}{8} \cr} $

ب) سرعت تغییر مساحت این مستطیل را نسبت به تغییر درجه حرارت به‌دست آورید.

$\eqalign{
  &  = S(T) = g(T).f(T) \Rightarrow S'(T) = g'(T).f(T) + f'(T).g(T)  \cr 
  & S'(T) = \frac{5}{4} \times 15(1 + \frac{1}{8}T) + \frac{{15}}{8} \times 10(1 + \frac{1}{8}T) = \frac{{75}}{2}(1 + \frac{1}{8}T) \cr} $ تابع مساحت

تابع‌های صعودی و نزولی و مشتق آن‌ها

سعید یاد گرفته بود که مشتق یک تابع، سرعت تغییرات تابع را نشان می‌دهد. اما او مشاهده کرد تابع‌هایی وجود دارند که مشتق آن‌ها در برخی نقاط، عددی منفی است و برای او این سؤال پیش آمد که منفی شدن مشتق چه معنایی دارد؟

- سعید گفت: من فکر می‌کردم که مشتق یک تابع در یک نقطه، سرعت تغییرات مقادیر تابع را در آن نقطه نشان می‌دهد. اما مشتق برخی تابع‌ها در برخی نقاط، عددی منفی است. منفی شدن مشتق، چه معنایی دارد؟

- دبیر گفت: به نکتهٔ خوبی توجه کردی. مشتق یک تابع در یک نقطه، چگونگی تغییرات تابع در نزدیکی‌های آن نقطه را نشان می‌دهد. با انجام فعالیت زیر می‌توانید این وضعیت را بررسی کنید.

فعالیت (صفحهٔ 125 کتاب درسی)

 

1- تابع $f(x) = {x^2}$ را با دامنهٔ $(0, + \infty )$ در نظر بگیرید. جدول زیر برخی از مقادیر تابع را نشان می‌دهد. این جدول را کامل کنید.

$a$ 50 30 10 5 1 0/5 $x$
${a^2}$ 2500 900 100 25 1 0/25 $f(x)$

2- با افزایش مقادیر $x$، مقادیر $f(x)$  (از لحاظ افزایش یا کاهش) چگونه تغییر می‌کنند؟ افزایش می‌یابد.

3- مشتق این تابع را به‌دست آورید. علامت مشتق تابع در این نقاط چگونه است؟
$f'(x) = {x^2}$ علامت $f'(x)$ در $(0, + \infty )$ مثبت است.

4- تابع $g(x) =  - {x^2}$ را با دامنهٔ $(0, + \infty )$ در نظر بگیرید. جدول زیر برخی از مقادیر تابع را نشان می‌دهد. این جدول را کامل کنید.

$a$ 50 30 10 5 1 0/5 $x$
$ - {a^2}$ 2500- 900- 100- 25- 1- 0/25- $g(x)$

5- با افزایش مقادیر $x$، مقادیر $g(x)$ (از لحاظ افزایش یا کاهش) چگونه تغییر می‌کنند؟ کاهش می‌یابد.

6- مشتق این تابع را به‌دست آورید. علامت مشتق تابع در این نقاط چگونه است؟
$f'(x) =  - 2x$ علامت $f'(x)$ در $(0, + \infty )$ منفی است.

7- با توجه به نتایج بالا به‌نظر شما چه رابطه‌ای بین رفتار افزایشی یا کاهشی مقادیر یک تابع و علامت مشتق آن تابع برقرار است؟ حدس می‌زنیم اگر علامت مشتق یک تابع در دامنه‌اش مثبت باشد تابع افزایشی و اگر علامت مشتق یک تابع در دامنه‌اش منفی باشد تابع کاهشی است.

در این فعالیت دو تابع خاص را بررسی کردید که یکی رفتاری افزایشی و دیگری رفتاری کاهشی داشت. ویژگی‌های این دو تابع را می‌توانید در جدول زیر مشاهده کنید.

تابع $g(x) =  - {x^2}$ با دامنهٔ $(0, + \infty )$ $f(x) = {x^2}$ با دامنهٔ $(0, + \infty )$
نمودار

رفتار تابع کاهشی افزایشی
ویژگی رفتاری با افزایش مقادیر متغیر، مقادیر تابع کاهش می‌یابند. با افزایش مقادیر متغیر، مقادیر تابع افزایش می‌یابند.
علامت مقادیر مشتق تابع منفی مثبت

رابطه‌ای که بین رفتارهای تابع و علامت مشتق تابع در جدول بالا مشاهده می‌شود، برای تابع‌های دیگر نیز برقرار است. برخی تابع‌ها رفتاری افزایشی دارند (مانند تابع $f$ در فعالیت (سوم))؛ یعنی با افزایش مقدار متغیر، مقدار تابع نیز افزایش می‌یابد. مشتق این‌گونه تابع‌ها (در صورت وجود) در همهٔ نقاط دامنهٔ خود مثبت خواهند بود. اما، برخی تابع‌ها رفتار کاهشی دارند (مانند تابع $g$ در فعالیت (سوم))؛ یعنی با افزایش مقدار متغیر، مقدار تابع کاهش می‌یابد. مشتق این‌گونه تابع‌ها (در صورت وجود) در همهٔ نقاط دامنهٔ خود منفی خواهد بود.

تابع‌هایی را که در دامنهٔ خود رفتاری افزایشی دارند، تابع صعودی، و تابع‌هایی را که در دامنهٔ خود رفتار کاهشی دارند، تابع نزولی می‌نامند.

- سعید گفت: آیا این نتیجه‌گیری درست است که مثبت بودن مشتق تابع، نشانهٔ صعودی بودن و منفی بودن مشتق تابع، نشانهٔ نزولی بودن تابع است؟

- دبیر گفت: اگر دامنهٔ تابع یک بازه باشد، نتیجه‌گیری شما درست است. در واقع، اگر مشتق یک تابع در نقاط یک بازه از دامنهٔ تابع، مثبت باشد، تابع در آن بازه صعودی است. همچنین، اگر مشتق یک تابع در نقاط یک بازه از دامنهٔ تابع، منفی باشد، تابع در آن بازه نزولی است. اما اگر دامنه، اجتماعی از بازه‌ها باشد، صعودی یا نزولی بودن تابع را باید مستقیماً بررسی کرد. به مثال 10 توجه کنید.

- سعید گفت: اگر مشتق تابعی در برخی نقاط دامنهٔ خود، مثبت و در برخی نقاط دیگر از دامنهٔ خود، منفی باشد، در مورد وضعیت صعودی یا نزولی بودن این تابع چه می‌توانیم بگوییم؟

- دبیر گفت: توجه داشته باشید که تابع‌ها، لزوماً همه‌جا صعودی یا همه‌جا نزولی نیستند. یک تابع ممکن است در قسمت‌هایی از دامنهٔ خود صعودی باشد و در قسمت‌های دیگری نزولی باشد.

کار در کلاس (صفحهٔ 130 و 131 کتاب درسی)

 

1- فرض کنید $g$ تابعی مشتق‌پذیر با دامنهٔ $\mathbb{R}$ باشد و نمودار ${g'}$ به شکل زیر باشد.

الف) مقادیر ${g'}$ در چه بازه‌ای مثبت و در چه بازه‌ای منفی است؟
مقادیر $g'(x)$ در بازهٔ $( - \infty ,0)$ منفی و در بازهٔ $(0, + \infty )$ مثبت است.

ب) تابع $g$ در کدام بازه‌ها صعودی و در کدام بازه‌ها نزولی است؟
تابع $g(x)$ در بازهٔ $( - \infty ,0)$ نزولی و در بازهٔ $(0, + \infty )$ صعودی است.

ج) کدام‌یک از نمودارهای زیر می‌تواند نمودار $g$ باشد؟ نمودار آخر در پایین.

2- آیا تابعی می‌توان یافت که هم صعودی و هم نزولی باشد؟ مشتق چنین تابعی چه ویژگی دارد؟ با یک مثال نشان دهید.
در تعاریف تابع‌های صعودی و نزولی، تابع‌های ثابت در هر دو حالت صدق می‌کنند. بنابراین، تابع‌های ثابت هم صعودی هستند و هم نزولی. فقط تابع‌های ثابت می‌توانند هم صعودی باشند و هم نزولی. مشتق این تابع‌ها هم مثبت یا بزرگ‌تر از صفر و هم منفی یا کوچک‌تر یا مساوی صفرند. یعنی مشتق این تابع‌ها صفر است.

سعید می‌دانست که در برخی نقاط، مشتق برخی تابع‌ها صفر می‌شود و این سؤال برای او پیش آمد که در این حالت تابع چه وضعیتی پیدا می‌کند.

- سعید پرسید: وقتی مشتق یک تابع در بازه‌ای از دامنۀ تابع مثبت یا منفی باشد، تابع در آن بازه صعودی یا نزولی است. اما، وقتی مشتق تابع در برخی نقاط صفر شود، وضعیت تابع در این نقاط به چه صورت در می‌آید؟

- دبیر گفت: به نکتهٔ بسیار خوبی اشاره کردی. وقتی مشتق یک تابع در یک نقطه صفر است، فقط می‌توانیم بگوییم خط مماس بر نمودار تابع در آن نقطه افقی است. برای تشخیص چگونگی رفتار تابع، باید دربارهٔ مثبت یا منفی بودن مشتق تابع در قبل و بعد از آن نقطه تحقیق کنیم.

مسائل (صفحهٔ‌ 134 تا 137 کتاب درسی)

 

1- نمودار یک تابع به شکل زیر است. این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است؟

با توجه به نمودار تابع می‌توان گفت:
در بازهٔ $( - \infty ,1)$ رفتار تابع افزایشی و در بازهٔ $(1,3)$ رفتار تابع کاهشی و در بازه  $(3, + \infty )$ رفتار تابع افزایشی است.

2- نمودار یک تابع با دامنهٔ $\left[ {0,2} \right]$ به شکل زیر است.

الف) این تابع در چه بازه‌هایی صعودی است؟ با توجه به نمودار می‌توان گفت، این تابع در بازه‌های $(0,1)$ و $(1,2)$ رفتار افزایشی دارد و روی این بازه‌ها صعودی است.

ب) آیا این تابع در کل دامنهٔ خود صعودی است؟ خیر؛ با توجه به نمودار تابع، این تابع اگر چه در هریک از بازه‌های $(0,1)$ و $(1,2)$ صعودی است ولی روی تمام دامنهٔ خود صعودی نیست.

3- نمودار یک تابع مشتق‌پذیر به شکل زیر است.

الف) این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است؟
با توجه به نمودار تابع می‌توان گفت:
در بازهٔ $( - \infty , - 1)$ نزولی، در بازهٔ $( - 1,0)$ صعودی، در بازهٔ $(0,1)$ نزولی و در بازهٔ $(1, + \infty )$ صعودی است.

ب) مشتق این تابع در چه نقاطی مثبت و در چه نقاطی منفی است؟
مشتق تابع در بازهٔ $( - \infty , - 1)$ منفی، در بازهٔ $( - 1,0)$ مثبت و در بازهٔ $(0,1)$ منفی و در بازهٔ $(1, + \infty )$ مثبت است.

ج) مشتق این تابع در چه نقاطی صفر است؟
مشتق تابع در نقاط 1، 0، $x =  - 1$ صفر می‌باشد و در این نقاط مشتق تغییر علامت می‌دهد.

4- تابع $g(x) = \frac{x}{{2 - x}}$ با دامنهٔ $R - \left\{ 2 \right\}$ را در نظر بگیرید.

الف) مشتق این تابع را به‌دست آورید.

$f'(x) = \frac{{1(2 - x) - ( - 1)(x)}}{{{{(2 - x)}^2}}} = \frac{2}{{{{(2 - x)}^2}}}$

ب) آیا نقطه‌ای وجود دارد که مشتق این تابع در آن نقطه صفر شود؟ خیر؛ چون $f'(x) \ne 0$

ج) مشتق این تابع در چه نقاطی مثبت و در چه نقاطی منفی است؟
مشتق تابع $f$ در همه نقاط دامنهٔ خود $(R - \left\{ 2 \right\})$ مثبت است.

د) نمودار این تابع را با جئوجبرا رسم کنید و وضعیت صعودی یا نزولی بودن تابع را از روی نمودار و مشتق آن توصیف کنید. با توجه به نمودار تابع می‌توان گفت ، این تابع در بازهٔ $( - \infty ,2)$ رفتار صعودی دارد و مشتق تابع در این بازه مثبت است. همچنین در بازه $(2, + \infty )$ نیز تابع صعودی است و مشتق آن نیز در بازه مورد نظر مثبت می‌باشد. اما تابع روی کل دامنة خود صعودی نیست.

5- فرض کنید $g$ یک تابع مشتق‌پذیر با دامنهٔ $\mathbb{R}$ است و نمودار ${g'}$ به شکل زیر است.

الف) تابع $g$ در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است؟
مشتق این تابع در بازه‌های $( - \infty ,0)$ و $(2, + \infty )$ مثبت است، پس خود تابع در این بازه‌ها صعودی است. اما مشتق این تابع در بازهٔ $(0,2)$ منفی است، پس خود تابع در این بازه نزولی است.

ب) مشتق $g$ در چه نقاطی صفر است؟ آیا تابع $g$ در این نقاط نسبت به نقاط اطراف، به بیشترین یا کمترین مقدار خود می‌رسد؟ 
مشتق تابع در نقاط $x = 0$ و $x = 2$ صفر است، زیرا در این نقاط نمودار تابع مشتق محور طول‌ها را قطع کرده است. از آنجا که در این نقاط تابع مشتق تغییر علامت می‌دهد و وضعیت صعودی و نزولی تابع در این نقاط تغییر می‌کند، تابع در این نقاط (موضعاً) به بیشترین یا کم‌ترین مقدار خود می‌رسد.

ج) کدام‌یک از نمودارهای زیر می‌تواند نمودار $g$ باشد؟ با توجه به نتایج قسمت (الف) شکل شماره (2) می‌تواند نمودار تابع $g$ باشد.

6- نمودار یک تابع با دامنهٔ $\left[ {0,5} \right]$ را رسم کنید که در بازهٔ $\left[ {0,2} \right]$ صعودی و در بازهٔ $\left[ {2,5} \right]$ نزولی باشد؟ 
برای تابع موردنظر می‌توان نمودارهای مختلفی رسم کرد. به‌طور مثال:

7- قانون یک تابع با دامنهٔ $\left[ {1,7} \right]$ را ارائه کنید که پیوسته باشد و در بازهٔ $\left[ {1,3} \right]$ نزولی و در بازهٔ $\left[ {3,7} \right]$ صعودی باشد.

برای این تابع می‌توان مثال‌های متفاوتی را مطرح کرد. به‌طور مثال:

$f(x) = \left\{ \begin{gathered} 
   - x + 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \leqslant x < 3 \hfill \cr 
  2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3 \leqslant x < 7 \hfill \cr 
 \end{gathered}  \right.$

حتی می‌توانید یک تابع درجه دوم بنویسید که مشتق‌پذیر نیز باشد، برای مثال:

$f(x) = {(x - 3)^2}$

تابع با قانون بالا و دامنهٔ $\left[ {1,7} \right]$ یک جواب این مسئله است.

پودمان 5: محاسبات مشتق و کاربردها